摘　要　资料误差和模式误差都可能影响变分四维同化的结果，针对这一问题利用浅水方程模式进行了变分四维同化的数值模拟试验。试验分三种情况进行：(1) 仅修正初始场，(2) 仅修正模式，(3) 二者同时修正。试验结果表明，当模式有误差时，传统的变分四维同化方法(仅修正初始场)可能将模式的误差混淆到初始场中去，尽管在同化期间可得到较好的拟合，但却不一定能保证同化后有好的预报。如果不修正初始场而修正模式，当模式误差不大时，尽管实际的方程误差随时间变化，但仍可用一个定常的误差项来近似代替它达到改善预报的目的。在实际的方程误差随时间变化较大时，如果用定常的误差项来代替，可能造成同化失败。同时修正初始场和模式，同化后效果会好于同化前，但尺度化因子的选取对同化产生很大影响。
　　关键词　变分四维同化　控制变量　浅水方程模式　伴随模式
　　分类号　P435

THE RESEARCH OF SEVERAL ASPECTS OF FOUR-DIMENSIONAL VARIATIONAL DATA ASSIMILATION

FENG Wu-hu　QIU Chong-jian

(Department of Atmospheric Sciences, Lanzhou University, Lanzhou，Gansu　730000)

　　Abstract　It is possible that both observational data error and model error will influence results through four-dimensional variational data assimilation. According to this, some numerical experiments are performed on a shallow water equation model. In these experiments initial data and model error parameter are adjusted simultaneously or sequentially as control variables. It shows when taking initial data as control variables, model error will be aliased to the initial fields if model equations exist error. Although it can be well adjusted during the periods of assimilation, it may not have good forecast after assimilation. But if taking model error parameter as control variables, although model error will varies with time, we can substitute it with constant model error control if the errors in the model have small effect, otherwise, assimilation will fail. It shows when initial data and model correction term adjusted simultaneous as the control variables, perhaps it will be the best, but the choice of scale will influence the results.
　　Key words　Four-dimensional variational data assimilation　Control variables　Shallow water equation model　Adjoint model

1　引　　言
　　变分四维同化方法已经成为产生最优预报的一种有力工具。这一最优过程是通过修正预报模式的某些输入量（称为控制变量）使预报与观测最接近。变分四维同化可以被理解为用预报模式提供的信息来弥补观测场的不足，因此，预报模式的误差必然影响到同化的结果。正是由于认识到这一点，Derber^［1］首先提出用修正模式的方法来替代修正初始场进行变分四维同化。Zupanski等^［2］则进一步在同化过程中将初始场和模式误差均作为控制变量加以修正。既然初始场和模式都有误差，那么在同化过程中对两者都加以修正应该是合理的。但实际进行中我们会面临如下一些问题：(1) 由于我们不可能将每个计算格点(包括空间和时间)上的模式误差均作为控制变量，一般只能对其时间或空间变化作某种假设。现在流行的作法是假设其不随时间变化或时间变化函数已知。在这种假设下修正模式是否有好处？(2) 由于上面的问题，再加上观测资料有误差，在同化过程中同时修正初始场和模式是否仍然可行？之所以提出这样的问题是考虑到由于对模式误差不正确的假设加之观测误差的影响，使得我们无法将初始场的误差和模式误差的作用区分开来，这样会不会影响以后的预报？对这两个问题在用实际资料所作的试验中并没有给出肯定的回答。由于我们既不知道由实际观测形成的初始场的误差，也不知道模式的误差，要从实际的试验中来分析这两个问题也有不少困难。本文将采用浅水模式，并引入已知的模式误差，利用模式资料进行一系列数值模拟试验，对上述问题进行分析研究。

2　方　　法
2.1　变分方法的一般原理
　　变分四维同化方法的基本原理是通过修正模式的输入量（以下称为控制变量），使在同化时段内的模式输出量（或者它们的某些函数）与相应的观测之间距离最小。定义一个目标函数表征这一距离，于是变分四维同化方法便构成了一个约束条件下(控制方程)的泛函极小化问题。通过与原模式(线性化后)对应的伴随模式作向后积分，可计算出目标函数相对于控制变量的梯度，然后运用某种极小化算法（例如伴随梯度法、拟牛顿法）使它达到极小点。
　　上述问题可一般性地表述为下面的数学问题^［3］，设目标函数具有下列形式：

　　　　　　　(1)

其中y满足下面的预报方程

yⁿ=G_ny^n-1+λⁿ，　　　　　　　　　　　　　　　(2)

上标n表示时间标号，在预报方程(2)中已加入了用λⁿ表示的模式修正项，其中只是空间的函数，λ是时间t的已知函数，分别为在模式方程中所加入的误差项的时间部分和空间部分。yⁿ是在t_n时刻的模式状态矢量，t_n时y的观测为yⁿ_obs。W为权重矩阵，依赖于观测误差协方差。y⁰和为控制变量。
　　变分四维同化方法有三种：一种认为模式精确，仅修正初始场，这是一种传统的四维变分，此时控制变量为y⁰；另一种认为初始场精确而仅修正模式，这时控制变量为；还有一种认为初始场和模式都不精确，需要同时进行修正，此时控制变量为y⁰和。
　　对(1)式取一阶变分，并利用伴随算子的性质，可得到目标函数对初始场的梯度

　　　　　　　　　　　　　　　(3)

和目标函数关于模式误差的梯度

　　　　　　　　　　　　　　(4)

这里伴随函数是由下面的伴随方程决定

_n=G^′*_n+1n+1+W(yⁿ-yⁿ_obs)，　　　　　　　　　　(5)

G^′*是算子G线性化后的伴随算子。本文中采用变尺度法^［3］（或拟牛顿法，Luenberger,1984, Gilleta,1981）,找出目标函数的极小值。实践证明，它是很成功的最优化方法之一，具有较好的数值稳定性及收敛性。其具体计算步骤如下：
　　(1) 给出控制变量的初始猜测值；
　　(2) 积分模式(2)，得出同化期间模式方程的积分值；
　　(3) 根据方程(1)，计算出目标函数值；
　　(4) 通过反向时间积分伴随方程(3)或(4)，分别计算出目标函数关于相应控制变量的梯度值；
　　(5) 如果达到收敛或已经给定的迭代次数，则迭代中止，否则返回(2)，重复该过程。
2.2　模式方程
　　模式方程是下面的浅水方程：

　　　　　(6)

这里u,v,h分别是东西向、南北向风速及高度，东西边界取周期性边界条件，南北边界取光滑刚性边界条件，时间积分采用Euler-后差迭代格式，空间采用中央差分格式。积分区域为边长D=6 000 km的正方形区域，网格距Δx=Δy=300 km，时间步长Δt=360 s，f=10^-4s^-1，g=9.8　ms^-2。方程中加入了人工耗散项以消除可能产生的非线性计算不稳定。扩散系数K_u=K_v=K_h=6.7×10⁵m²s^-1，资料同化的时间t=6 h。
2.3　观测资料的构造
　　试验所用的观测资料是由上述模式产生的模拟资料。对模式积分的时段划分如图1所示。类似Grammeltvedt^［4］的做法，在图1中A时刻取高度场为

　　　　　　(7)

图 1　模式积分的时段划分
Fig. 1　A schematic view of the assimilation-forecast cycle

风场是由地转关系给出

　　　　　　　　　　　　　　　　(8)

　　　　　　　　　　　　　　　　(9)

这里H₀=1 000 m，H₁=-120 m，H₂=60 m，y₀=D/2。本文中取k=4和k=10两种情况。从A时刻出发作3 h时间积分，以消除由于初始风场和高度场不协调产生的高频振荡，将得到的结果(B时刻)作为初时时刻的“真实值”，以下称为“真实的初始场”。再由B时刻的“真实的初始场”出发，沿精确的模式再向前积分6 h得到同化期间的“真实场”。若认为观测无误差，我们将同化期间的“真实场”视为观测场。若认为观测有误差，取观测场为“真实场”与误差场之和。这里误差场取为随机型误差，随机型误差是由随机函数产生，误差的振幅是“真实场”均方根值的10% 。
　　在不进行变分四维同化时，同化阶段和实际预报阶段所用的初始场均是该时段的起始时刻（B或者C）的观测场。在进行变分四维同化后，实际预报所用的初始场是同化末时刻（C）的同化结果。假设同化过程中每小时一次观测，并在所有网格点上有效。

图 2　模式误差较小时同化前后高度场均方根误差随时间变化的比较
0～6 h为同化时段，6～12 h为预报时段；实线：同化前；点线：仅修正初始场；星号线：
仅修正模式；圆圈线：同时修正初始场和模式
Fig. 2　Temporal variation of the RMS errors of height fields over the assimilation period (from 0 to 6 h) and over a subsequent 6 h forecast(from 6 to 12 h) in the experiments by the model with lesser errors.Sol-
id line:　without data assimilation,dashed line: IC experiment, dashed line with star: ME experiment,dashed line with circle: ICME experiment

　　若取k=10，东西向的波数增加，风速增大，系统移动加快。这意味着在空间点上扩散项的值随时间变化增大，相应的模式误差随时间变化增大。由图3可看出，在同化期间，同化后效果有可能好于同化前，但在实际预报阶段的预报显然不如同化前。这表明当实际的方程误差随时间变化比较剧烈时，在修正模式时，若用一个定常的误差项来近似代替它，有可能会导致同化失败。

图 3　模式误差较大时同化前后高度场均方根误差随时间变化的比较
其余说明同图2
Fig. 3　The same as Fig. 2, but for in the experiments by the model with bigger errors

　　在我们的试验中，实际的模式误差可以由扩散项计算出来，将其时间平均值和同化给出的模式误差比较，计算空间平均的相对偏差R，其定义为

　　　　　　　　(10)

这里_h为同化给出的模式误差，_h为实际的模式误差（时间平均）值，R(u)和R(v)的定义与R(h)相类似。

　　表1给出了在不同的模式误差情况下（k分别为4和10），同化给出模式误差和实际的模式误差（时间平均）的平均偏差R值。

图 4　k为4时连续方程的实际误差和
同化给出的方程误差空间分布
(a) 为实际误差（时间平均），(b) ME，(c) ICME模式
Fig. 4　The time-mean error in　the　continuity
equation. (a) actual value; (b) retrieved　value
by ME experiment; (c) retrieved value by ICME
experiment (k=4)

图 5　观测资料与模式均有误差时同化前后高度场均方根误差随时间变化的比较
其余说明同图2
Fig. 5　The same as Fig. 2, but for in the experiments by the model with
errors and initial field with errors

注：国家自然科学基金(49375241)资助

作者单位：兰州大学大气科学系　甘肃省兰州市　730000